---
route: /task/matura-sierpie-2013-28
title: Zadanie matura-sierpie-2013-28
source: Matura sierpień 2013
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2013-28

**Źródło:** Matura sierpień 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\) . Oblicz \(\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }\) .

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{1}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Możemy spokojnie przekształcać wszystkie zapisy, bo wiemy że kąt \(α\) jest ostry, a więc nie ma obaw że wykonamy dzielenie przez \(0\), bo \(sinα\gt0\) oraz \(cosα\gt0\).

Krok 1. Zapisanie wartości sinusa.

Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie powyżej:

$$\frac{sinα}{cosα}=2 \\

sinα=2cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.

Do naszego wyrażenia z treści zadania podstawiamy teraz \(sinα=2cosα\), dzięki czemu otrzymamy:

$$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}=\frac{2cosα-cosα}{2cosα+cosα}=\frac{cosα}{3cosα}=\frac{1}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2013