---
route: /task/matura-sierpie-2013-24
title: Zadanie matura-sierpie-2013-24
source: Matura sierpień 2013
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2013-24

**Źródło:** Matura sierpień 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\) . Wtedy wartość wyrażenia \(2cos^2\alpha -1\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 0 \)
- **B.** \( \frac{1}{3} \)
- **C.** \( \frac{5}{9} \)
- **D.** \( 1 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos^2α\).

W zadaniu wykorzystamy tak zwaną jedynkę trygonometryczną:

$$sin^2α+cos^2α=1$$

Widzimy że w poszukiwanym wyrażeniu pojawia się \(cos^2α\), więc spróbujmy wyznaczyć jego wartość, podstawiając do jedynki trygonometrycznej \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\):

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+cos^2α=1 \\

\frac{3}{9}+cos^2α=1 \\

cos^2α=\frac{6}{9}$$

Wartości "czystego" cosinusa obliczać już nie musimy, bo nam do wyrażenia potrzebna jest wartość \(cos^2α\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2cos^2α-1\).

Znając wartość \(cos^2α\) możemy bez problemu obliczyć wartość całego wyrażenia:

$$2cos^2α-1=2\cdot\frac{6}{9}-1=\frac{12}{9}-1=\frac{1}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2013