---
route: /task/matura-sierpie-2013-22
title: Zadanie matura-sierpie-2013-22
source: Matura sierpień 2013
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2013-22

**Źródło:** Matura sierpień 2013
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=n^2-n\) , dla \(n \ge 1\) . Który wyraz tego ciągu jest równy \(6\)?

## Odpowiedzi

- **A.** drugi
- **B.** trzeci
- **C.** szósty
- **D.** trzydziesty

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby.

I sposób - metoda podstawiania:

Możemy podstawiać pod \(n\) poszczególne liczby z odpowiedzi (czyli \(n=2\), \(n=3\), \(n=6\) oraz \(n=30\)) i sprawdzić kiedy wynik będzie równy \(6\). Całość wyglądałaby wtedy następująco:

$$a_{2}=2^2-2=4-2=2 \\

a_{3}=3^2-3=9-3=6 \\

a_{6}=n^2-n=6^2-6=36-6=30 \\

a_{30}=n^2-n=30^2-30=900-30=870$$

To oznacza, że to właśnie trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(6\).

II sposób - tworząc odpowiednie równanie kwadratowe:

Gdyby się okazało, że tego typu zadanie jest zadaniem otwartym, bez podpowiedzi, to całość moglibyśmy rozwiązać tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe:

$$n^2-n=6 \\

n^2-n-6=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)

$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\

n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Skoro \(n\gt1\), to ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(n=3\), czyli trzeci wyraz.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2013