---
route: /task/matura-sierpie-2012-34
title: Zadanie matura-sierpie-2012-34
source: Matura sierpień 2012
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2012-34

**Źródło:** Matura sierpień 2012
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kolarz pokonał trasę \(114\) km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o \(9{,}5\) km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o \(2\) godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(v=28{,}5\) km/h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie układu równań.

W całym zadaniu przyda nam się znajomość wzoru \(v=\frac{s}{t}\) i umiejętność jego zamiany na pożądaną formę.

\(v\) - średnia prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))

\(t\) - czas jazdy kolarza (w godzinach)

\(s=114\) - pokonana trasa (w kilometrach)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.

Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które stworzą układ równań:

\begin{cases}

114=vt \\

(v-9,5)(t+2)=114

\end{cases}

Najprościej będzie podstawić wartość \(t=\frac{114}{v}\) z pierwszego równania do drugiego, dzięki czemu otrzymamy:

$$\require{cancel}

(v-9,5)\left(\frac{114}{v}+2\right)=114 \quad\bigg/\cdot v \\

(v-9,5)(114+2v)=114v \\

\cancel{114v}+2v^2-1083-19v=\cancel{114v} \\

2v^2-19v-1083=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=2,\;b=-19,\;c=-1083\)

$$Δ=b^2-4ac=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-1083)=361-(-8664)=361+8664=9025 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{9025}=95$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)-95}{2\cdot2}=\frac{19-95}{4}=\frac{-76}{4}=-19 \\

v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)+95}{2\cdot2}=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28,5$$

Ujemną prędkość oczywiście odrzucamy, więc jedyną prawidłową odpowiedzią jest \(v=28,5\frac{km}{h}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2012