---
route: /task/matura-sierpie-2012-30
title: Zadanie matura-sierpie-2012-30
source: Matura sierpień 2012
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2012-30

**Źródło:** Matura sierpień 2012
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest równoległobok \(ABCD\). Na przedłużeniu przekątnej \(AC\) wybrano punkt \(E\) tak, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\). Uzasadnij, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(DCE\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Tak naprawdę kluczem do sukcesu jest dorysowanie wspólnej wysokości trójkąta \(ACD\) oraz rozwartokątnego trójkąta \(DCE\) z wierzchołka \(D\). Warto też zauważyć, że pole trójkąta \(ACD\) jest dwa razy mniejsze od pola naszego równoległoboku.

Krok 2. Zapisanie wzoru na pole trójkąta \(DCE\) oraz \(ACD\).

Trójkąt \(DCE\) jest rozwartokątny, jego podstawą niech będzie \(|CE|\), a wysokością dorysowany odcinek \(h\). Otrzymamy więc:

$$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot|CE|\cdot h$$

W treści zadania mamy podaną informację, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\) tak więc po podstawieniu tej informacji do powyższego wzoru otrzymamy:

$$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|AC|\cdot h \\

P_{DCE}=\frac{1}{4}\cdot|AC|\cdot h$$

Możemy jeszcze zapisać sobie wzór na pole trójkąta \(ACD\), bo przyda nam się on w kolejnym kroku:

$$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h$$

Krok 3. Zapisanie wzoru na pole równoległoboku \(ABCD\).

Nasz równoległobok ma dwa razy większą powierzchnię od trójkąta \(ACD\), zatem:

$$P_{ABCD}=2\cdot P_{ACD} \\

P_{ABCD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h \\

P_{ABCD}=|AC|\cdot h$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

$$\frac{P_{ABCD}}{P_{DCE}}=\frac{|AC|\cdot h}{\frac{1}{4}|AC|\cdot h}=4$$

Udało nam się w ten sposób udowodnić, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest czterokrotnie większe od pola trójkąta \(DCE\), co kończy nasze dowodzenie.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-99.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2012