---
route: /task/matura-sierpie-2012-23
title: Zadanie matura-sierpie-2012-23
source: Matura sierpień 2012
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2012-23

**Źródło:** Matura sierpień 2012
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3 \)
- **B.** \( \frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3 \)
- **C.** \( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3 \)
- **D.** \( \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Skoro w przekroju jest trójkąt równoboczny, to możemy wprowadzić następujące oznaczenia:

Z rysunku wynika, że promień podstawy jest równy \(r=\frac{1}{2}a\).

Krok 2. Wyznaczenie pola podstawy i wysokości stożka.

Znając długość promienia możemy obliczyć pole podstawy stożka:

$$P_{p}=πr^2 \\

P_{p}=π\cdot\left(\frac{1}{2}a\right)^2 \\

P_{p}=\frac{1}{4}πa^2$$

Wysokość stożka jest wysokością naszego trójkąta równobocznego, zatem zgodnie ze standardowym wzorem na wysokość trójkąta równobocznego:

$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka.

Do wzoru na objętość stożka musimy podstawić dane wyznaczone w drugim kroku:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}πa^2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

V=\frac{\sqrt{3}}{24}πa^3$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-97.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2012