---
route: /task/matura-sierpie-2012-14
title: Zadanie matura-sierpie-2012-14
source: Matura sierpień 2012
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2012-14

**Źródło:** Matura sierpień 2012
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{7}{13}\). Wtedy \(\operatorname{tg} \alpha \) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{7}{6} \)
- **B.** \( \frac{7\cdot 13}{120} \)
- **C.** \( \frac{7}{\sqrt{120}} \)
- **D.** \( \frac{7}{13\sqrt{120}} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2012-14.png]

Krok 2. Obliczenie wartości cosα.

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:

$$cos^2α=1-sin^2α \\

cos^2α=1-\left(\frac{7}{13}\right)^2 \\

cos^2α=1-\frac{49}{169} \\

cos^2α=\frac{120}{169} \\

cosα=\sqrt{\frac{120}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{120}{169}} \\

cosα=\frac{\sqrt{120}}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{120}}{13}$$

Kąt \(α\) jest ostry, więc ujemną wartość cosinusa odrzucamy.

Krok 3. Obliczenie wartości \(tgα\).

Znając wartość sinusa i cosinusa bez problemu wyliczymy wartość tangensa:

$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\

tgα=\frac{\frac{7}{13}}{\frac{\sqrt{120}}{13}} \\

tgα=\frac{7}{13}:\frac{\sqrt{120}}{13} \\

tgα=\frac{7}{13}\cdot\frac{13}{\sqrt{120}} \\

tgα=\frac{7}{\sqrt{120}}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2012