---
route: /task/matura-sierpie-2011-33
title: Zadanie matura-sierpie-2011-33
source: Matura sierpień 2011
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2011-33

**Źródło:** Matura sierpień 2011
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości: \(|AW| = 6\), \(|BW| = 9\), \(|CW| = 7\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(8\sqrt{10}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Zaznaczmy na naszym rysunku długości z treści zadania i przeanalizujmy sobie ten ostrosłup:

Potrzebujemy poznać długości wszystkich boków zaznaczonych na zielono, czyli \(x\) oraz \(y\) do obliczenia pola podstawy oraz wysokość \(H\) całego ostrosłupa (którą w naszym przypadku jest odcinek \(DW\)).

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).

Za chwilę będziemy budować różne równania z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to jeszcze przydałoby nam się zapisanie wzoru na długość odcinka \(BD\). Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:

$$x^2+y^2=|BD|^2$$

I w takiej formie możemy to na razie zostawić, bo przy Twierdzeniu Pitagorasa i tak posługujemy się długościami boków podniesionymi do kwadratu.

Krok 3. Wypisanie równań na podstawie Twierdzenia Pitagorasa.

Z trójkąta \(ADW\) wynika, że: \(y^2+H^2=36\)

Z trójkąta \(DCW\) wynika, że: \(x^2+H^2=49\)

Z trójkąta \(DBW\) wynika, że: \(|BD|^2+H^2=81\), czyli \(x^2+y^2+H^2=81\)

Krok 4. Wyznaczenie poszczególnych długości.

Podstawiając z pierwszego równania \(y^2+H^2=36\) do trzeciego równania otrzymamy:

$$x^2+36=81 \\

x^2=45 \\

x=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$

Podstawiając \(x=\sqrt{45}\) do drugiego równania otrzymamy:

$$(\sqrt{45})^2+H^2=49 \\

45+H^2=49 \\

H^2=4 \\

H=2$$

Podstawiając \(H=2\) do pierwszego równania otrzymamy:

$$y^2+2^2=36 \\

y^2+4=36 \\

y^2=32 \\

y=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie pola podstawy.

W podstawie znajduje się prostokąt o bokach \(x\) oraz \(y\), zatem:

$$P_{p}=x\cdot y \\

P_{p}=3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{2} \\

P_{p}=12\sqrt{10}$$

Krok 6. Obliczenie objętości bryły.

Znamy wszystkie potrzebne długości, zatem możemy przejść do obliczenia objętości:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{10}\cdot2 \\

V=4\sqrt{10}\cdot2 \\

V=8\sqrt{10}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-126.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2011