---
route: /task/matura-sierpie-2011-31
title: Zadanie matura-sierpie-2011-31
source: Matura sierpień 2011
category: Planimetria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2011-31

**Źródło:** Matura sierpień 2011
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa \(65\) m. Boisko w drugiej szkole ma długość o \(4\) m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o \(8\) m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z boisk.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(33\times 56\) oraz \(25\times 60\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2011-31.png]

Krok 2. Wypisanie danych z treści zadania.

\(s\) - szerokość pierwszego boiska

\(d\) - długość pierwszego boiska

\(s-8\) - szerokość drugiego boiska

\(d+4\) - długość drugiego boiska

\(p=65\) - długość przekątnej boiska

Krok 3. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.

W tym zadaniu możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa, bowiem długość i szerokość boiska stanowią przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a przekątna boiska byłaby wtedy przeciwprostokątną. Jeśli ułożymy dwa takie równania (dla pierwszego i drugiego boiska) to będziemy w stanie wyznaczyć długość i szerokość, zatem:

\begin{cases}

s^2+d^2=65^2 \\

(s-8)^2+(d+4)^2=65^2

\end{cases}\begin{cases}

s^2+d^2=65^2 \\

s^2-16s+64+d^2+8d+16=65^2

\end{cases}

Odejmując ten układ równań stronami pozbędziemy się zarówno \(s^2\) jaki i \(d^2\). Jeśli tego nie dostrzeżemy, to równie dobrze możemy podstawić po prawej stronie drugiego równania \(65^2=s^2+d^2\) i wtedy osiągniemy identyczny efekt, więc:

$$-16s+64+8d+16=0 \\

-16s+8d+80=0 \\

8d=16s-80 \\

d=2s-10$$

Podstawiając teraz wyznaczoną wartość \(d=2s-10\) do pierwszego równania \(s^2+d^2=65^2\) otrzymamy:

$$s^2+(2s-10)^2=65^2 \\

s^2+4s^2-40s+100=4225 \\

5s^2-40s-4125=0 \quad\bigg/:5 \\

s^2-8s-825=0$$

Ostatnie dzielenie przez \(5\) nie jest koniecznie, ale dzięki niemu będziemy mogli za chwilę pracować na nieco mniejszych liczbach.

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-825\)

$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-825)=64-(-3300)=64+3300=3364 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{3364}=58$$

$$s_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-58}{2\cdot1}=\frac{8-58}{2}=\frac{-50}{2}=-25 \\

s_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+58}{2\cdot1}=\frac{8+58}{2}=\frac{66}{2}=33$$

Krok 5. Interpretacja otrzymanych wyników i wskazanie wymiarów obydwu boisk.

Wartość ujemną obliczoną w poprzednim kroku oczywiście odrzucamy, bo szerokość nie może być wartością ujemną. To oznacza, że szerokość pierwszego boiska jest równa \(s=33\). Długość tego boiska obliczymy korzystając z wybranego równania z kroku drugiego, np.:

$$d=2s-10 \\

d=2\cdot33-10 \\

d=66-10 \\

d=56$$

Wymiary pierwszego boiska to: \(33\times56\).

Musimy jeszcze obliczyć wymiary drugiego boiska:

Szerokość drugiego boiska: \(s-8=33-8=25\)

Długość drugiego boiska: \(d+4=56+4=60\)

Wymiary drugiego boiska to: \(25\times60\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2011