---
route: /task/matura-sierpie-2011-26
title: Zadanie matura-sierpie-2011-26
source: Matura sierpień 2011
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2011-26

**Źródło:** Matura sierpień 2011
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(3\frac{2}{15}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2011-26.png]

Krok 2. Wyznaczenie wartości cosinusa.

Znając wartość sinusa możemy przy użyciu jedynki trygonometrycznej obliczyć wartość cosinusa:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

\left(\frac{1}{4}\right)^2+cos^2α=1 \\

\frac{1}{16}+cos^2α=1 \\

cos^2α=1-\frac{1}{16} \\

cos^2α=\frac{15}{16} \\

cosα=\sqrt{\frac{15}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{15}{16}} \\

cosα=\frac{\sqrt{15}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.

Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.

Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy teraz obliczyć wartość tangensa:

$$tgα=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} \\

tgα=\frac{1}{4}:\frac{\sqrt{15}}{4} \\

tgα=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{15}} \\

tgα=\frac{1}{\sqrt{15}}$$

Niewymierności z mianownika na razie nie musimy usuwać, bo jak się za chwilę okaże zniknie nam ona w trakcie dalszych obliczeń.

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(3+2tg^2α\).

Znając wartość tangensa możemy już bez przeszkód dokończyć obliczenie naszego wyrażenia:

$$3+2tg^2α=3+2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2= \\

=3+2\cdot\frac{1}{15}=3+\frac{2}{15}=3\frac{2}{15}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2011