---
route: /task/matura-sierpie-2011-25
title: Zadanie matura-sierpie-2011-25
source: Matura sierpień 2011
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2011-25

**Źródło:** Matura sierpień 2011
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli \(1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 16\), jest podzielny przez \(2^{15}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze:

$$2=2^1 \\

4=2^2 \\

6=2^1\cdot3 \\

8=2^3 \\

10=2^1\cdot5 \\

12=2^2\cdot3 \\

14=2^1\cdot7 \\

16=2^4$$

Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy:

$$2^1\cdot2^2\cdot2^1\cdot3\cdot2^3\cdot2^1\cdot5\cdot2^2\cdot3\cdot2^1\cdot7\cdot2^4= \\

=2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7= \\

2^{15}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$$

Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez \(2^{15}\). To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez \(2^{15}\), co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2011