---
route: /task/matura-sierpie-2011-23
title: Zadanie matura-sierpie-2011-23
source: Matura sierpień 2011
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2011-23

**Źródło:** Matura sierpień 2011
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 300 \)
- **B.** \( 300\sqrt{3} \)
- **C.** \( 300+50\sqrt{3} \)
- **D.** \( 300+25\sqrt{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2011-23.png]

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy \(9\) krawędzi. Skąd to wiemy? Możemy to albo sobie wyobrazić (trzy krawędzie w podstawie dolnej, trzy krawędzie w podstawie górnej i trzy krawędzie boczne), albo możemy skorzystać ze wzoru na liczbę krawędzi w graniastosłupach. Graniastosłup posiadającego w swojej podstawie \(n\)-kąt ma liczbę krawędzi równą \(3n\). Czyli w naszym przypadku skoro \(n=3\), to liczba krawędzi będzie równa \(3\cdot3=9\).

Skoro suma wszystkich krawędzi jest równa \(90\), a takich krawędzi mamy \(9\), to każda z nich ma długość:

$$a=90:9 \\

a=10$$

Krok 3. Obliczenie powierzchni podstawy dolnej i górnej.

W podstawie dolnej i górnej znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=10\). Pole każdej z tych podstaw będzie więc równe:

$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{100\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=25\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie powierzchni ściany bocznej.

W ścianie bocznej znajdzie się kwadrat o boku \(a=10\), zatem:

$$P_{b}=a^2 \\

P_{b}=10^2 \\

P_{b}=100$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Mamy dwie podstawy (dolna oraz górna) oraz trzy ściany boczne, zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:

$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\

P_{c}=2\cdot25\sqrt{3}+3\cdot100 \\

P_{c}=300+50\sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2011