---
route: /task/matura-sierpie-2011-16
title: Zadanie matura-sierpie-2011-16
source: Matura sierpień 2011
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2011-16

**Źródło:** Matura sierpień 2011
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = 2n^2 - 9\) dla \(n \ge 1\)?

## Odpowiedzi

- **A.** \( 0 \)
- **B.** \( 1 \)
- **C.** \( 2 \)
- **D.** \( 3 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Sposób I - obliczenie wartości kilku początkowych wyrazów:

W przypadku tego zadania najprościej jest wyznaczyć sobie wartości kilku pierwszych wyrazów i sprawdzić ile z nich będzie ujemnych. Po odpowiedziach widzimy, że dużo liczenia nas nie czeka, bo będą to maksymalnie trzy wyrazy. Zatem:

$$a_{1}=2\cdot1^2-9=2\cdot1-9=2-9=-7 \\

a_{2}=2\cdot2^2-9=2\cdot4-9=8-9=-1 \\

a_{3}=2\cdot3^2-9=2\cdot9-9=18-9=9$$

Widzimy, że tylko dwa pierwsze wyrazy są ujemne, zatem prawidłowa jest odpowiedź \(C\).

Sposób II - obliczenie za pomocą ułożonej nierówności:

Powyższy sposób nie sprawdziłby się nam w zadaniach z trudniejszymi liczbami albo w zadaniach otwartych. Spróbujmy więc dojść do rozwiązania w nieco bardziej matematyczny sposób. Szukamy wyrazów ujemnych, zatem:

$$2n^2-9\lt0 \\

2n^2\lt9 \\

n^2\lt4,5$$

Teraz musimy się zastanowić jakie liczby naturalne podniesione do kwadratu dadzą wynik mniejszy niż \(4,5\) (interesują nas tylko liczby naturalne, bo w ciągach \(n\in N\)). Na pewno takimi liczbami będą \(1\) oraz \(2\) i to są jedyne dwie możliwości. Zatem to oznacza, że w naszym ciągu znajdą się tylko dwa wyrazy ujemne.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2011