---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-30
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-30
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-30

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \( ABCDEFGH \) połączono punkty będące środkami krawędzi \( BC \), \( CD \), \( AD \) i \( GH \). Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że \( \vert{DB}\vert=5\sqrt{2} \) i kąt \( DBH \) ma miarę \( 60^\circ \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=\frac{125\sqrt{6}}{12}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-30.png]

Oznaczymy podstawę graniastosłupa jako kwadrat \(ABCD\), a górną podstawę jako \(EFGH\), gdzie \(E\) leży nad \(A\), \(F\) nad \(B\), \(G\) nad \(C\), \(H\) nad \(D\).

## Krok 2: Wyznaczenie długości krawędzi podstawy

Niech \(a\) będzie długością krawędzi podstawy (boku kwadratu).

W kwadracie \(ABCD\) przekątna wynosi:
$$|DB| = a\sqrt{2}$$

Z danych: \(|DB| = 5\sqrt{2}\), więc:
$$a\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$
$$a = 5$$

## Krok 3: Wyznaczenie wysokości graniastosłupa

Niech \(h\) będzie wysokością graniastosłupa.

W trójkącie \(DBH\):
- \(|DB| = 5\sqrt{2}\) (przekątna podstawy)
- \(|BH|\) to odległość od \(B\) do \(H\)
- kąt \(\angle DBH = 60°\)

Punkt \(H\) leży nad \(D\), więc \(|DH| = h\) (wysokość graniastosłupa).

Trójkąt \(DBH\) jest prostokątny przy wierzchołku \(D\) (gdyż \(DH \perp\) płaszczyzna podstawy).

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$|BH|^2 = |BD|^2 + |DH|^2 = (5\sqrt{2})^2 + h^2 = 50 + h^2$$

Z tw. cosinusów w trójkącie \(DBH\):
$$|DH|^2 = |DB|^2 + |BH|^2 - 2|DB||BH|\cos(60°)$$

Podstawiając:
$$h^2 = 50 + (50 + h^2) - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{50 + h^2} \cdot \frac{1}{2}$$
$$0 = 100 - 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{50 + h^2}$$
$$5\sqrt{2} \cdot \sqrt{50 + h^2} = 100$$
$$\sqrt{50 + h^2} = \frac{100}{5\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$$
$$50 + h^2 = 200$$
$$h^2 = 150$$
$$h = 5\sqrt{6}$$

## Krok 4: Identyfikacja bryły

Środki krawędzi:
- \(M\) — środek \(BC\)
- \(N\) — środek \(CD\)
- \(P\) — środek \(AD\)
- \(Q\) — środek \(GH\)

Połączenie tych punktów tworzy **ostrosłup czworokątny** o podstawie \(MNPQ\) (w dolnej podstawie graniastosłupa) i wierzchołku \(Q\) (w górnej podstawie).

Podstawa \(MNP\) w kwadracie \(ABCD\):
- \(M = (5, 2.5, 0)\), \(N = (2.5, 5, 0)\), \(P = (0, 2.5, 0)\) (przyjmując \(A=(0,0,0)\))
- To trójkąt o bokach długości \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Punkt \(Q\) jest środkiem \(GH\) na wysokości \(h = 5\sqrt{6}\).

## Krok 5: Obliczenie objętości

Pole podstawy trójkąta równoramiennego prostokątnego \(MNP\):
$$P_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot 5 = \frac{25}{4}$$

Objętość ostrosłupa:
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podstawy} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{25}{4} \cdot 5\sqrt{6}$$
$$V = \frac{125\sqrt{6}}{12}$$

**Odpowiedź: \(V = \frac{125\sqrt{6}}{12}\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014