---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-29
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-29
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-29

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pewien kierowca, jadąc z miasta \( A \) do miasta \( B \), zmierzył czas i prędkość jazdy. Drogę powrotną pokonał z prędkością o \(12\) km/h większą, w czasie o \( 12 \) minut krótszym. Z jaką średnią prędkością wracał kierowca do miasta \( A \), jeżeli wiadomo, że miasta te są oddalone od siebie o \(117\) km?

**Prawidłowa odpowiedź:** \(v=90\) km/h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy prędkość jazdy z miasta A do miasta B jako \( v \) km/h.

**Dane:**
- Odległość między miastami: \( s = 117 \) km
- Prędkość w drodze powrotnej: \( v + 12 \) km/h
- Czas powrotny krótszy o 12 minut = \( \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \) godziny

**Krok 1: Zapisujemy czasy przejazdu**

Czas jazdy z A do B:
$$t_1 = \frac{117}{v}$$

Czas jazdy z B do A:
$$t_2 = \frac{117}{v+12}$$

**Krok 2: Zapisujemy warunek zadania**

Droga powrotna trwała o \( \frac{1}{5} \) godziny krócej:
$$t_1 - t_2 = \frac{1}{5}$$

Podstawiamy wyrażenia na czasy:
$$\frac{117}{v} - \frac{117}{v+12} = \frac{1}{5}$$

**Krok 3: Rozwiązujemy równanie**

Mnożymy obie strony przez \( 5v(v+12) \):
$$5 \cdot 117(v+12) - 5 \cdot 117v = v(v+12)$$

$$585(v+12) - 585v = v^2 + 12v$$

$$585v + 7020 - 585v = v^2 + 12v$$

$$7020 = v^2 + 12v$$

$$v^2 + 12v - 7020 = 0$$

**Krok 4: Rozwiązujemy równanie kwadratowe**

Stosujemy wzór: \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

$$\Delta = 144 + 4 \cdot 7020 = 144 + 28080 = 28224$$

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{28224} = 168$$

$$v = \frac{-12 \pm 168}{2}$$

Otrzymujemy dwa rozwiązania:
- \( v = \frac{-12 + 168}{2} = \frac{156}{2} = 78 \) km/h
- \( v = \frac{-12 - 168}{2} = -90 \) (odrzucamy, bo prędkość musi być dodatnia)

**Krok 5: Obliczamy prędkość powrotną**

Prędkość w drodze powrotnej (z B do A):
$$v_{powrót} = v + 12 = 78 + 12 = 90 \text{ km/h}$$

**Sprawdzenie:**
- Czas z A do B: \( \frac{117}{78} = 1,5 \) h = 90 minut
- Czas z B do A: \( \frac{117}{90} = 1,3 \) h = 78 minut
- Różnica: 90 - 78 = 12 minut ✓

**Odpowiedź: Kierowca wracał do miasta A z prędkością 90 km/h**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014