---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-28
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-28
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-28

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trójkąty prostokątne \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(ABC\) mają długości \(5\) i \(12\), a przeciwprostokątna trójkąta\(DEF\) ma długość \(26\). Wyznacz pole trójkąta \(DEF\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=120\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-28.png]

## Krok 2: Wyznaczenie przeciwprostokątnej trójkąta ABC

Trójkąt \(ABC\) ma przyprostokątne długości \(5\) i \(12\). Z twierdzenia Pitagorasa:

$$c_{ABC} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

## Krok 3: Obliczenie pola trójkąta ABC

Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych:

$$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$$

## Krok 4: Wyznaczenie skali podobieństwa

Trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Przeciwprostokątna trójkąta \(DEF\) ma długość \(26\).

Skala podobieństwa \(k\) to stosunek odpowiadających sobie boków:

$$k = \frac{c_{DEF}}{c_{ABC}} = \frac{26}{13} = 2$$

## Krok 5: Wykorzystanie własności pól figur podobnych

Jeśli dwie figury są podobne ze skalą \(k\), to stosunek ich pól wynosi \(k^2\).

Zatem:

$$\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = k^2 = 2^2 = 4$$

## Krok 6: Obliczenie pola trójkąta DEF

$$P_{DEF} = P_{ABC} \cdot 4 = 30 \cdot 4 = 120$$

**Odpowiedź: Pole trójkąta \(DEF\) wynosi \(P = 120\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014