---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-27
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-27
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-27

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Okrąg o środku w punkcie \( S=(-3,4) \) jest styczny do prostej o równaniu \( y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3} \). Oblicz współrzędne punktu styczności.

**Prawidłowa odpowiedź:** \((1,7)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-27.png]

Dane:
- środek okręgu: \( S = (-3, 4) \)
- prosta: \( y = -\frac{4}{3}x + \frac{25}{3} \)

**Krok 2: Zapisanie prostej w postaci ogólnej**

$$y = -\frac{4}{3}x + \frac{25}{3}$$

Mnożymy przez 3:

$$3y = -4x + 25$$

$$4x + 3y - 25 = 0$$

**Krok 3: Obliczenie odległości środka od prostej**

Odległość punktu \( S = (x_0, y_0) \) od prostej \( Ax + By + C = 0 \) wynosi:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Podstawiamy \( A = 4, B = 3, C = -25 \) oraz \( S = (-3, 4) \):

$$r = \frac{|4 \cdot (-3) + 3 \cdot 4 - 25|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-12 + 12 - 25|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-25|}{5} = 5$$

Promień okręgu wynosi \( r = 5 \).

**Krok 4: Znalezienie prostej prostopadłej**

Prosta prostopadła do danej prostej przechodząca przez punkt \( S \) ma współczynnik kierunkowy:

$$m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$$

Równanie prostej prostopadłej przez \( S = (-3, 4) \):

$$y - 4 = \frac{3}{4}(x - (-3))$$

$$y - 4 = \frac{3}{4}(x + 3)$$

$$y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 = \frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$$

**Krok 5: Znalezienie punktu przecięcia**

Punkt styczności to przecięcie prostej \( y = -\frac{4}{3}x + \frac{25}{3} \) z prostą \( y = \frac{3}{4}x + \frac{25}{4} \):

$$-\frac{4}{3}x + \frac{25}{3} = \frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$$

Mnożymy przez 12:

$$-16x + 100 = 9x + 75$$

$$100 - 75 = 9x + 16x$$

$$25 = 25x$$

$$x = 1$$

Podstawiamy do równania prostej prostopadłej:

$$y = \frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{25}{4} = \frac{3 + 25}{4} = \frac{28}{4} = 7$$

**Odpowiedź:** Punkt styczności ma współrzędne \( (1, 7) \).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014