---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-25
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-25
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-25

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-25.png]

Oznaczmy trójkąt prostokątny jako \( ABC \), gdzie kąt przy wierzchołku \( C \) jest prosty, a długości boków to:
- \( a \) — długość przyprostokątnej \( BC \)
- \( b \) — długość przyprostokątnej \( AC \)
- \( c \) — długość przeciwprostokątnej \( AB \)

## Krok 2: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

## Krok 3: Wyznaczenie pól trójkątów równobocznych

Przypomnijmy wzór na pole trójkąta równobocznego o boku \( s \):

$$P = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$$

Zatem pola trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach naszego trójkąta prostokątnego wynoszą:

- Pole trójkąta na przyprostokątnej \( a \): 
$$P_a = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

- Pole trójkąta na przyprostokątnej \( b \): 
$$P_b = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$$

- Pole trójkąta na przeciwprostokątnej \( c \): 
$$P_c = \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$$

## Krok 4: Obliczenie sumy pól figur na przyprostokątnych

$$P_a + P_b = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2)$$

## Krok 5: Podstawienie twierdzenia Pitagorasa

Ponieważ \( a^2 + b^2 = c^2 \), otrzymujemy:

$$P_a + P_b = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot c^2 = \frac{c^2\sqrt{3}}{4} = P_c$$

## Wniosek

Udowodniliśmy, że:

$$P_c = P_a + P_b$$

czyli pole trójkąta równobocznego zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól trójkątów równobocznych zbudowanych na przyprostokątnych.

**Dowód bazuje na twierdzeniu Pitagorasa i fakcie, że pola figur podobnych są proporcjonalne do kwadratów odpowiadających im boków.**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014