---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-24
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-24
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-24

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \( \frac{2x^2+2x+4}{x^4+3x^3-4x^2-12x} \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3,-2,0,2\}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Dziedzina wyrażenia wymiernego to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik jest różny od zera.

## Krok 1: Warunek istnienia wyrażenia

Wyrażenie istnieje, gdy:
$$x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 12x \neq 0$$

## Krok 2: Wyłączenie wspólnego czynnika

Wyłącza się \(x\) przed nawias:
$$x(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) \neq 0$$

Już widać, że \(x \neq 0\).

## Krok 3: Rozkład wielomianu trzeciego stopnia

Rozkłada się \(x^3 + 3x^2 - 4x - 12\) metodą grupowania:
$$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = x^2(x + 3) - 4(x + 3)$$

Wyłącza się \((x + 3)\):
$$= (x + 3)(x^2 - 4)$$

## Krok 4: Rozkład różnicy kwadratów

Rozpoznaję wzór \(x^2 - 4 = x^2 - 2^2\):
$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

## Krok 5: Pełny rozkład mianownika

$$x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 12x = x(x + 3)(x - 2)(x + 2)$$

## Krok 6: Wyznaczenie dziedziny

Mianownik jest równy zero, gdy:
$$x(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$$

Czyli gdy: \(x = 0\) lub \(x = -3\) lub \(x = 2\) lub \(x = -2\)

## Odpowiedź

Dziedzina wyrażenia:
$$x \in \mathbb{R} \backslash \{-3, -2, 0, 2\}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014