---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-23
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-23
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-23

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że \( \sqrt{5}+\sqrt{3}=\sqrt{8+2\sqrt{15}} \).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Zostanie wykazane, że obie strony równania są równe, podnosząc lewą stronę do kwadratu.

**Krok 1:** Podnosi się lewą stronę do kwadratu

$$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$$

**Krok 2:** Oblicza się poszczególne składniki

$$(\sqrt{5})^2 = 5$$

$$(\sqrt{3})^2 = 3$$

$$2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{15}$$

**Krok 3:** Podstawia się wyniki

$$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$$

**Krok 4:** Podnosi się prawą stronę równania do kwadratu

$$\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\right)^2 = 8 + 2\sqrt{15}$$

**Wniosek:**

Otrzymano:
- \((\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)
- \(\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\right)^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)

Obie strony podniesione do kwadratu dają ten sam wynik. Ponieważ obie liczby \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) i \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\) są dodatnie (jako sumy/pierwiastki z liczb dodatnich), to z równości kwadratów wynika równość samych liczb.

Zatem \(\sqrt{5}+\sqrt{3}=\sqrt{8+2\sqrt{15}}\). ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014