---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-22
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-22
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Logarytmy
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-22

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Liczby \(2, \log_{\frac{1}{2}}x, 8\) są (w podanej kolejności) wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \( x \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=\frac{1}{32}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Skoro liczby \(2, \log_{\frac{1}{2}}x, 8\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to różnica między dowolnymi dwoma sąsiednimi wyrazami musi być taka sama.

## Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym:
$$\log_{\frac{1}{2}}x - 2 = 8 - \log_{\frac{1}{2}}x$$

## Rozwiązanie równania

Przekształca się równanie:
$$\log_{\frac{1}{2}}x - 2 = 8 - \log_{\frac{1}{2}}x$$

$$\log_{\frac{1}{2}}x + \log_{\frac{1}{2}}x = 8 + 2$$

$$2\log_{\frac{1}{2}}x = 10$$

$$\log_{\frac{1}{2}}x = 5$$

## Wyznaczenie x

Z definicji logarytmu:
$$\log_{\frac{1}{2}}x = 5 \iff x = \left(\frac{1}{2}\right)^5$$

Oblicza się:
$$x = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$$

## Sprawdzenie

Sprawdza się, czy \(2, \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{32}, 8\) tworzą ciąg arytmetyczny:

$$\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{32} = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^5 = 5$$

Ciąg: \(2, 5, 8\)

Różnice: \(5-2=3\) i \(8-5=3\) ✓

**Odpowiedź:** \(x = \frac{1}{32}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014