---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-21
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-21
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-21

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność \( x^2-x-12\leqslant 0 \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x\in \{1,2,3,4\} \) lub ewentualnie \(x\in \{0,1,2,3,4\} \) jeżeli \(0\) uznajemy za liczbę naturalną.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się nierówność kwadratową \(x^2 - x - 12 \leq 0\).

## Krok 1: Wyznacza się miejsca zerowe funkcji \(f(x) = x^2 - x - 12\)

Rozwiązuje się równanie \(x^2 - x - 12 = 0\).

Oblicza się wyróżnik:
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Miejsca zerowe:
$$x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

$$x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

## Krok 2: Analizuje się znak funkcji kwadratowej

Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(a = 1 > 0\), więc parabola jest skierowana ramionami do góry.

Funkcja kwadratowa przyjmuje wartości:
- ujemne lub równe zero dla \(x \in [-3, 4]\)
- dodatnie dla \(x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty)\)

## Krok 3: Rozwiązanie nierówności w liczbach rzeczywistych

Nierówność \(x^2 - x - 12 \leq 0\) jest spełniona dla:
$$x \in [-3, 4]$$

## Krok 4: Wybiera się liczby naturalne z przedziału \([-3, 4]\)

**Jeśli \(0 \notin \mathbb{N}\)** (tradycyjne podejście):
$$x \in \{1, 2, 3, 4\}$$

**Jeśli \(0 \in \mathbb{N}\)** (konwencja współczesna):
$$x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$$

## Weryfikacja (dla pewności):
- \(x = 1\): \(1 - 1 - 12 = -12 \leq 0\) ✓
- \(x = 4\): \(16 - 4 - 12 = 0 \leq 0\) ✓
- \(x = 5\): \(25 - 5 - 12 = 8 > 0\) ✗

**Odpowiedź:** \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\) lub \(x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) w zależności od przyjętej konwencji

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014