---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-15
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-15
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-15

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę \( 60^\circ \), a podstawy mają długość \(6\) i \(9\). Wysokość tego trapezu jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(6 \)
- **B.** \(2\sqrt{3} \)
- **C.** \(3\sqrt{3} \)
- **D.** \(\frac{3\sqrt{3}}{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-15.png]

Oznaczmy trapez prostokątny ABCD, gdzie:
- AB i CD to podstawy (AB = 6, CD = 9)
- Kąty przy podstawie AD są proste (90°)
- Kąt przy podstawie BC wynosi 60°

**Krok 2: Szkic sytuacji**

W trapezie prostokątnym dwa kąty są proste. Przyjmijmy, że:
- Podstawa dolna CD = 9
- Podstawa górna AB = 6
- Boki AD i BC nie są równoległe
- Kąty przy wierzchołkach A i D są proste
- Kąt przy wierzchołku C wynosi 60°

**Krok 3: Opuszczenie pomocniczej wysokości**

Z punktu B opuszczamy wysokość na podstawę CD. Niech ta wysokość ma długość \(h\).

Ponieważ ABCD jest trapezem prostokątnym z kątami prostymi przy A i D, to:
- AD ⊥ CD i AD ⊥ AB
- Wysokość trapezu to właśnie \(h = AD\)

**Krok 4: Analiza trójkąta pomocniczego**

Przeciągając bok AB do punktu na podstawie CD, otrzymujemy prostokąt i trójkąt prostokątny.

Różnica podstaw: \(9 - 6 = 3\)

Ta różnica tworzy przyprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym:
- Kąt przy podstawie wynosi 60°
- Jedna przyprostokątna (przy kącie prostym) = 3
- Druga przyprostokątna to wysokość \(h\)

**Krok 5: Wykorzystanie trygonometrii**

W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku C:
- Kąt przy C = 60°
- Przyprostokątna pozioma = 3
- Przyprostokątna pionowa = \(h\)

Mamy:
$$\tan(60°) = \frac{h}{3}$$

**Krok 6: Obliczenie wysokości**

$$\tan(60°) = \sqrt{3}$$

Zatem:
$$\sqrt{3} = \frac{h}{3}$$

$$h = 3\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014