---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-14
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-14
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-14

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości \(9\) jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \(36\pi \)
- **B.** \(9\pi \)
- **C.** \(18\sqrt{3}\pi \)
- **D.** \(12\pi \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-14.png]

## Krok 2: Związek między wysokością a bokiem trójkąta równobocznego

W trójkącie równobocznym o boku \(a\) wysokość wynosi:
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Mamy \(h = 9\), więc:
$$9 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

$$a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

## Krok 3: Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu opisanego wynosi:
$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Możemy też użyć związku z wysokością. Ponieważ \(a = 6\sqrt{3}\):
$$R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$$

**Alternatywnie:** W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku 2:1 od wierzchołka, więc:
$$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$$

## Krok 4: Pole koła opisanego

$$P = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014