---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2014-01
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-01
source: Matura próbna styczeń 2014
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2014-01

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2014
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dane są liczby \( x=2+\sqrt{5}\) i \(\ y=3-\sqrt{5} \). Iloraz \( \frac{x}{y} \) można zapisać w postaci:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 8\sqrt{5} \)
- **B.** \( \frac{7\sqrt{5}-9}{4} \)
- **C.** \( \frac{-5\sqrt{5}}{2} \)
- **D.** \( \frac{11}{4}+\frac{5}{4}\sqrt{5} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Mamy dane:
- \(x = 2 + \sqrt{5}\)
- \(y = 3 - \sqrt{5}\)

Obliczamy iloraz \(\frac{x}{y}\):

$$\frac{x}{y} = \frac{2 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$$

Aby pozbyć się niewymierności z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone do mianownika, czyli przez \(3 + \sqrt{5}\):

$$\frac{x}{y} = \frac{2 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$$

Obliczamy licznik:
$$(2 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$$
$$= 6 + 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5 = 11 + 5\sqrt{5}$$

Obliczamy mianownik (wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)):
$$(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$$

Zatem:
$$\frac{x}{y} = \frac{11 + 5\sqrt{5}}{4}$$

Rozdzielamy na dwa ułamki:
$$\frac{x}{y} = \frac{11}{4} + \frac{5\sqrt{5}}{4} = \frac{11}{4} + \frac{5}{4}\sqrt{5}$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014