---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-31
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-31
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-31

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Krawędź sześcianu jest o \(4\) krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P_c=96+48\sqrt{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2013-31.png]

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez \(a\).

**Krok 2: Wyznaczenie długości przekątnej sześcianu**

Przekątna sześcianu (przekątna przestrzenna) łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez wnętrze bryły.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni trójwymiarowej, długość przekątnej sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi:

$$d = a\sqrt{3}$$

**Krok 3: Zapisanie warunku z treści zadania**

Według treści zadania, krawędź jest o 4 krótsza od przekątnej:

$$d - a = 4$$

Podstawiamy wzór na przekątną:

$$a\sqrt{3} - a = 4$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania**

Wyłączamy \(a\) przed nawias:

$$a(\sqrt{3} - 1) = 4$$

$$a = \frac{4}{\sqrt{3} - 1}$$

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone \(\sqrt{3} + 1\):

$$a = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{2}$$

$$a = 2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2$$

**Krok 5: Obliczenie pola powierzchni całkowitej**

Sześcian ma 6 ścian, każda o polu \(a^2\), zatem:

$$P_c = 6a^2$$

Obliczamy \(a^2\):

$$a^2 = (2\sqrt{3} + 2)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 + 2^2$$

$$a^2 = 12 + 8\sqrt{3} + 4 = 16 + 8\sqrt{3}$$

Zatem pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 6(16 + 8\sqrt{3}) = 96 + 48\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 96 + 48\sqrt{3}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013