---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-30
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-30
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Geometria analityczna
points: 6
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-30

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz współrzędne punktu \(A'\), który jest symetryczny do punktu \(A = (3, 2)\) względem prostej \(y=-\frac{1}{3}x-6\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(B=\left(-2\frac{4}{10};\ -14\frac{2}{10}\right)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Szukamy punktu \(A' = (x', y')\) symetrycznego do \(A = (3, 2)\) względem prostej \(l: y = -\frac{1}{3}x - 6\).

## Krok 1: Znajdź prostą prostopadłą przechodzącą przez punkt A

Prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy \(a_l = -\frac{1}{3}\).

Prosta prostopadła \(p\) ma współczynnik kierunkowy:
$$a_p = -\frac{1}{a_l} = -\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 3$$

Prosta \(p\) przechodzi przez \(A = (3, 2)\):
$$y - 2 = 3(x - 3)$$
$$y = 3x - 9 + 2$$
$$y = 3x - 7$$

## Krok 2: Znajdź punkt przecięcia prostych l i p

Punkt przecięcia \(S\) (środek odcinka \(AA'\)):
$$3x - 7 = -\frac{1}{3}x - 6$$
$$3x + \frac{1}{3}x = -6 + 7$$
$$\frac{9x + x}{3} = 1$$
$$10x = 3$$
$$x_S = \frac{3}{10}$$

Podstawiamy do równania prostej \(p\):
$$y_S = 3 \cdot \frac{3}{10} - 7 = \frac{9}{10} - 7 = \frac{9 - 70}{10} = -\frac{61}{10}$$

Zatem \(S = \left(\frac{3}{10}, -\frac{61}{10}\right)\).

## Krok 3: Wyznacz współrzędne punktu A'

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(AA'\), więc:
$$S = \frac{A + A'}{2}$$

Dla współrzędnej x:
$$\frac{3}{10} = \frac{3 + x'}{2}$$
$$\frac{3}{5} = 3 + x'$$
$$x' = \frac{3}{5} - 3 = \frac{3 - 15}{5} = -\frac{12}{5}$$

Dla współrzędnej y:
$$-\frac{61}{10} = \frac{2 + y'}{2}$$
$$-\frac{61}{5} = 2 + y'$$
$$y' = -\frac{61}{5} - 2 = \frac{-61 - 10}{5} = -\frac{71}{5}$$

## Odpowiedź

$$A' = \left(-\frac{12}{5}, -\frac{71}{5}\right) = \left(-2\frac{2}{5}, -14\frac{1}{5}\right) = \left(-2{,}4, -14{,}2\right)$$

W zapisie dziesiętnym: \(A' = (-2{,}4; -14{,}2)\) lub \(A' = \left(-2\frac{4}{10}; -14\frac{2}{10}\right)\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013