---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-28
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-28
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-28

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(75\), a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa \(90\). Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_1=3\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez \(a_1\), a różnicę ciągu przez \(r\).

**Krok 1: Wypisanie wyrazów ciągu**

Ciąg ma 10 wyrazów:
- Wyrazy o numerach nieparzystych: \(a_1, a_3, a_5, a_7, a_9\)
- Wyrazy o numerach parzystych: \(a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}\)

**Krok 2: Wyrażenie wyrazów przez \(a_1\) i \(r\)**

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_n = a_1 + (n-1)r\):

Wyrazy nieparzyste:
- \(a_1 = a_1\)
- \(a_3 = a_1 + 2r\)
- \(a_5 = a_1 + 4r\)
- \(a_7 = a_1 + 6r\)
- \(a_9 = a_1 + 8r\)

Wyrazy parzyste:
- \(a_2 = a_1 + r\)
- \(a_4 = a_1 + 3r\)
- \(a_6 = a_1 + 5r\)
- \(a_8 = a_1 + 7r\)
- \(a_{10} = a_1 + 9r\)

**Krok 3: Zapisanie sum**

Suma wyrazów nieparzystych:
$$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) + (a_1 + 6r) + (a_1 + 8r)$$
$$= 5a_1 + 20r = 75$$

Suma wyrazów parzystych:
$$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = (a_1 + r) + (a_1 + 3r) + (a_1 + 5r) + (a_1 + 7r) + (a_1 + 9r)$$
$$= 5a_1 + 25r = 90$$

**Krok 4: Układ równań**

Otrzymujemy układ:
$$\begin{cases}
5a_1 + 20r = 75 \\
5a_1 + 25r = 90
\end{cases}$$

**Krok 5: Rozwiązanie układu**

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
$$(5a_1 + 25r) - (5a_1 + 20r) = 90 - 75$$
$$5r = 15$$
$$r = 3$$

Podstawiamy \(r = 3\) do pierwszego równania:
$$5a_1 + 20 \cdot 3 = 75$$
$$5a_1 + 60 = 75$$
$$5a_1 = 15$$
$$a_1 = 3$$

**Odpowiedź:** Pierwszy wyraz ciągu wynosi \(a_1 = 3\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013