---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-27
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-27
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-27

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że wysokość \(CD\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) poprowadzona z wierzchołka \(C\) kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki \(AD\) i \(DB\), których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio \(AC\) i \(BC\) tego trójkąta.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2013-27.png]

Rozważamy trójkąt prostokątny \(ABC\) z kątem prostym przy wierzchołku \(C\). Wysokość \(CD\) opuszczona z wierzchołka \(C\) na przeciwprostokątną \(AB\) dzieli ją na odcinki \(AD\) i \(DB\).

**Krok 2: Identyfikacja trójkątów podobnych**

Wysokość w trójkącie prostokątnym opuszczona na przeciwprostokątną tworzy dwa trójkąty podobne do trójkąta wyjściowego:
- \(\triangle ACD \sim \triangle ABC\)
- \(\triangle BCD \sim \triangle BAC\)

**Krok 3: Podobieństwo \(\triangle ACD \sim \triangle CAB\)**

Z podobieństwa \(\triangle ACD \sim \triangle CAB\) mamy:
$$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$$

Stąd:
$$AD = \frac{AC^2}{AB}$$

**Krok 4: Podobieństwo \(\triangle BCD \sim \triangle CBA\)**

Z podobieństwa \(\triangle BCD \sim \triangle CBA\) mamy:
$$\frac{BD}{BC} = \frac{BC}{BA}$$

Stąd:
$$BD = \frac{BC^2}{AB}$$

**Krok 5: Obliczenie stosunku \(\frac{AD}{DB}\)**

Dzieląc stronami równania z kroków 2 i 3:
$$\frac{AD}{BD} = \frac{\frac{AC^2}{AB}}{\frac{BC^2}{AB}} = \frac{AC^2}{AB} \cdot \frac{AB}{BC^2} = \frac{AC^2}{BC^2}$$

**Wniosek:**

Wykazaliśmy, że:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AC^2}{BC^2}$$

co oznacza, że stosunek długości odcinków \(AD\) i \(DB\) jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013