---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-26
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-26
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-26

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że równanie \(x^2+(b-2)x-2b=0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(b\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Aby uzasadnić, że równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej \(b\), wystarczy pokazać, że wyróżnik tego równania jest nieujemny dla każdego \(b \in \mathbb{R}\).

**Krok 1: Identyfikacja współczynników**

Równanie kwadratowe ma postać \(ax^2 + bx + c = 0\). W naszym przypadku:
- \(a = 1\)
- współczynnik przy \(x\): \(b-2\)
- wyraz wolny: \(-2b\)

**Krok 2: Obliczenie wyróżnika**

Wyróżnik dla równania kwadratowego to \(\Delta = B^2 - 4AC\), gdzie \(B\) to współczynnik przy \(x\), a \(C\) to wyraz wolny.

$$\Delta = (b-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2b)$$

$$\Delta = (b-2)^2 + 8b$$

**Krok 3: Rozwinięcie wyrażenia**

$$\Delta = b^2 - 4b + 4 + 8b$$

$$\Delta = b^2 + 4b + 4$$

**Krok 4: Rozpoznanie kwadratu sumy**

Zauważamy, że:

$$\Delta = (b+2)^2$$

**Krok 5: Wnioskowanie**

Ponieważ \((b+2)^2 \geq 0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(b\), mamy \(\Delta \geq 0\) dla każdego \(b \in \mathbb{R}\).

**Wniosek:**

Wyróżnik równania jest nieujemny dla dowolnej wartości \(b\), co oznacza, że równanie ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (dwa rozwiązania gdy \(\Delta > 0\), czyli \(b \neq -2\), lub jedno podwójne gdy \(\Delta = 0\), czyli \(b = -2\)).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013