---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-25
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-25
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-25

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha \), jeżeli \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \) jest kątem ostrym.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(2\frac{1}{4}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Dane: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) oraz \(\alpha\) jest kątem ostrym.

**Krok 1: Wyznaczenie \(\cos \alpha\)**

Z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy:
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{3}{4} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\cos \alpha > 0\), więc:
$$\cos \alpha = \frac{1}{2}$$

**Krok 2: Wyznaczenie \(\operatorname{tg} \alpha\)**

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

**Krok 3: Obliczenie \(\operatorname{tg}^2 \alpha\)**

$$\operatorname{tg}^2 \alpha = (\sqrt{3})^2 = 3$$

**Krok 4: Obliczenie wartości wyrażenia**

$$\operatorname{tg}^2 \alpha - 3\cos^2 \alpha = 3 - 3 \cdot \frac{1}{4} = 3 - \frac{3}{4} = \frac{12}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$$

**Odpowiedź:** \(2\frac{1}{4}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013