---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-24
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-24
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-24

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Proste \(DE\) i \(CB\) oraz \(EF\) i \(AC\) są równoległe. Oblicz długość odcinka \(EB\), jeżeli \(AE = 2{,}5\) , \(DE = 3\) oraz \(FB=4\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(|EB|=\frac{10}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Mamy trapez lub układ odcinków z równoległymi bokami.

**Analiza danych:**
- \(DE \parallel CB\)
- \(EF \parallel AC\)
- \(AE = 2{,}5\)
- \(DE = 3\)
- \(FB = 4\)
- Szukamy: \(|EB|\)

**Krok 1: Ustalenie konfiguracji**

Ponieważ \(EF \parallel AC\), to z twierdzenia Talesa dla trójkąta \(ABC\) (gdzie \(E\) leży na \(AB\), a \(F\) na \(BC\)) mamy:

$$\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}$$

**Krok 2: Wykorzystanie warunku \(DE \parallel CB\)**

Ponieważ \(DE \parallel CB\), punkt \(D\) leży na \(AC\), a \(E\) na \(AB\), więc z twierdzenia Talesa dla trójkąta \(ABC\):

$$\frac{AD}{DC} = \frac{AE}{EB}$$

oraz

$$\frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB}$$

**Krok 3: Analiza punktu \(F\)**

Skoro \(EF \parallel AC\), to \(F\) leży na \(BC\) i:

$$\frac{EF}{AC} = \frac{BE}{BA}$$

**Krok 4: Wykorzystanie długości \(DE = 3\) i \(FB = 4\)**

Z podobieństwa trójkątów \(ADE\) i \(ABC\) (bo \(DE \parallel CB\)):

$$\frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB} = \frac{AE}{AE + EB} = \frac{2{,}5}{2{,}5 + EB}$$

Z podobieństwa trójkątów \(BEF\) i \(BAC\) (bo \(EF \parallel AC\)):

$$\frac{EF}{AC} = \frac{BF}{BC} = \frac{BE}{BA}$$

oraz

$$\frac{BF}{BC} = \frac{BE}{BA}$$

$$\frac{4}{BC} = \frac{EB}{2{,}5 + EB}$$

**Krok 5: Połączenie warunków**

Z warunku \(DE \parallel CB\):
$$\frac{DE}{CB} = \frac{2{,}5}{2{,}5 + EB}$$

$$CB = \frac{3(2{,}5 + EB)}{2{,}5} = \frac{3 \cdot 2{,}5 + 3 \cdot EB}{2{,}5} = 3 + \frac{3 \cdot EB}{2{,}5}$$

Z warunku \(EF \parallel AC\):
$$BC = \frac{4(2{,}5 + EB)}{EB} = \frac{10 + 4 \cdot EB}{EB}$$

**Krok 6: Przyrównanie wyrażeń na \(BC\)**

$$3 + \frac{3 \cdot EB}{2{,}5} = \frac{10 + 4 \cdot EB}{EB}$$

$$3 + \frac{6 \cdot EB}{5} = \frac{10}{EB} + 4$$

$$\frac{6 \cdot EB}{5} = \frac{10}{EB} + 1$$

$$\frac{6 \cdot EB^2}{5} = 10 + EB$$

$$6 \cdot EB^2 = 50 + 5 \cdot EB$$

$$6 \cdot EB^2 - 5 \cdot EB - 50 = 0$$

**Krok 7: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$EB = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{1225}}{12} = \frac{5 \pm 35}{12}$$

Przyjmując rozwiązanie dodatnie:

$$EB = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$$

**Odpowiedź:** \(|EB| = \frac{10}{3}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013