---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-20
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-20
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-20

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Liczby \(2;\ 2x-1;\ 0{,}5\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometrycznego dla

## Odpowiedzi

- **A.** \( x=0 \)
- **B.** \( x=0 \) lub \(x=1\)
- **C.** \( x=1 \)
- **D.** \( x=-1 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Aby trzy liczby tworzyły ciąg geometryczny, musi być spełniony warunek: kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych.

## Warunek ciągu geometrycznego

Dla ciągu \(a_1 = 2\), \(a_2 = 2x-1\), \(a_3 = 0{,}5\):

$$(a_2)^2 = a_1 \cdot a_3$$

$$(2x-1)^2 = 2 \cdot 0{,}5$$

$$(2x-1)^2 = 1$$

## Rozwiązanie równania

$$|2x-1| = 1$$

Stąd dwa przypadki:

**Przypadek 1:** \(2x-1 = 1\)
$$2x = 2$$
$$x = 1$$

**Przypadek 2:** \(2x-1 = -1\)
$$2x = 0$$
$$x = 0$$

## Sprawdzenie monotoniczności

Ciąg geometryczny jest monotoniczny, gdy wszystkie wyrazy mają ten sam znak i \(|q| \neq 1\) (gdzie \(q\) to iloraz).

**Dla \(x = 1\):**
- Ciąg: \(2;\ 1;\ 0{,}5\)
- Iloraz: \(q = \frac{1}{2} = \frac{0{,}5}{1} = 0{,}5\)
- Wszystkie wyrazy dodatnie, \(0 < q < 1\)
- Ciąg **malejący** ✓

**Dla \(x = 0\):**
- Ciąg: \(2;\ -1;\ 0{,}5\)
- Iloraz: \(q = \frac{-1}{2} = -0{,}5\)
- Wyrazy zmieniają znak
- Ciąg **niemonotoniczny** ✗

## Wniosek

Tylko dla \(x = 1\) otrzymujemy monotoniczny ciąg geometryczny.

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013