---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-16
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-16
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-16

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wyrażenie \( \frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }} \), gdzie \(\alpha \) jest kątem ostrym, można zapisać w postaci

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sin^{2} \alpha \)
- **B.** \( \frac{\cos^4\alpha }{\sin \alpha } \)
- **C.** \( \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)
- **D.** \( \frac{1}{\sin \alpha } \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Przekształca się wyrażenie $\frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }}$ krok po kroku.

## Krok 1: Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Zatem:
$$1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$$

## Krok 2: Uproszczenie mianownika

Przypomnijmy, że $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, więc:
$$\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$$

Zatem:
$$\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{1}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$$

## Krok 3: Podstawienie do wyrażenia

Podstawia się przekształcone wyrażenia:
$$\frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }} = \frac{\cos^2\alpha}{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}$$

## Krok 4: Dzielenie przez ułamek

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:
$$\frac{\cos^2\alpha}{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$$

## Krok 5: Skracanie

Wyrazy $\cos^2\alpha$ w liczniku i mianowniku się skracają:
$$\cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013