---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-12
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-12
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-12

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Suma odwrotności pierwiastków wielomianu \(W(x)=4x^3-x^2-4x+1\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 4 \)
- **B.** \( -0{,}25 \)
- **C.** \( 6 \)
- **D.** \( -4 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Szuka się sumy odwrotności pierwiastków wielomianu \(W(x) = 4x^3 - x^2 - 4x + 1\).

**Krok 1: Oznaczenie pierwiastków**

Niech \(x_1, x_2, x_3\) to pierwiastki tego wielomianu. Szuka się:
$$S = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}$$

**Krok 2: Przekształcenie sumy**

Sprowadza się do wspólnego mianownika:
$$S = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3}$$

**Krok 3: Zastosowanie wzorów Viète'a**

Dla wielomianu \(W(x) = 4x^3 - x^2 - 4x + 1\) (postać: \(ax^3 + bx^2 + cx + d\), gdzie \(a=4, b=-1, c=-4, d=1\)):

- \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}\)

- \(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{4} = -1\)

- \(x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{1}{4}\)

**Krok 4: Obliczenie sumy odwrotności**

Podstawia się do wzoru:
$$S = \frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = \frac{-1}{-\frac{1}{4}} = \frac{-1 \cdot 4}{-1} = 4$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013