---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-09
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-09
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-09

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Proste \(y=-3x+4\) i \(y=\left ( \frac{1}{3}a^2-\frac{4}{3} \right )x\) są prostopadłe, jeżeli

## Odpowiedzi

- **A.** \( a=-2\ \) lub \(\ a=2\)
- **B.** \( a=2 \)
- **C.** \( a=\sqrt{5} \)
- **D.** \( a=-\sqrt{5}\ \) lub \(\ a=\sqrt{5}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\).

## Krok 1: Odczytanie współczynników kierunkowych

Z równań prostych odczytujemy współczynniki kierunkowe:
- Pierwsza prosta: \(y = -3x + 4\), więc \(m_1 = -3\)
- Druga prosta: \(y = \left(\frac{1}{3}a^2 - \frac{4}{3}\right)x\), więc \(m_2 = \frac{1}{3}a^2 - \frac{4}{3}\)

## Krok 2: Warunek prostopadłości

Proste są prostopadłe, gdy:
$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

Podstawiamy:
$$(-3) \cdot \left(\frac{1}{3}a^2 - \frac{4}{3}\right) = -1$$

## Krok 3: Rozwiązanie równania

Mnożymy lewą stronę:
$$-3 \cdot \frac{1}{3}a^2 + 3 \cdot \frac{4}{3} = -1$$

$$-a^2 + 4 = -1$$

Przenosimy wyrazy:
$$-a^2 = -1 - 4$$

$$-a^2 = -5$$

$$a^2 = 5$$

## Krok 4: Wyznaczenie wartości \(a\)

Z równania \(a^2 = 5\) otrzymujemy:
$$a = -\sqrt{5} \quad \text{lub} \quad a = \sqrt{5}$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013