---
route: /task/matura-pr-bna-stycze-2013-07
title: Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-07
source: Matura próbna styczeń 2013
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-stycze-2013-07

**Źródło:** Matura próbna styczeń 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości \(9\) jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 36\pi \)
- **B.** \( 9\pi \)
- **C.** \( 18\sqrt{3}\pi \)
- **D.** \( 12\pi \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2013-07.png]

Wyznacza się pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości 9.

**Krok 2: Związek między wysokością a bokiem trójkąta równobocznego**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\), wysokość wynosi:
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Mamy \(h = 9\), zatem:
$$9 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

$$a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

**Krok 3: Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\), promień okręgu opisanego wynosi:
$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Alternatywnie można użyć faktu, że środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku 2:1 od wierzchołka, więc:
$$R = \frac{2}{3}h$$

Podstawiając \(h = 9\):
$$R = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$$

**Krok 4: Pole koła opisanego**

Pole koła o promieniu \(R = 6\):
$$P = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013