---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-34
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-34
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Liczby rzeczywiste
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-34

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano \(480\) róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to do zapakowania tej samej ilości róż należałoby użyć o \(8\) kartonów więcej. Do ilu kartonów zapakowano pierwotnie róże i ile róż było w każdym kartonie?

**Prawidłowa odpowiedź:** \(15\) róż w kartonie i \(32\) kartony

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy zmienne:
- \(x\) – początkowa liczba kartonów
- \(y\) – początkowa liczba róż w jednym kartonie

## Krok 1: Zapisanie pierwszego warunku

Zapakowano 480 róż do \(x\) kartonów, więc:
$$x \cdot y = 480$$

## Krok 2: Zapisanie drugiego warunku

Gdyby do każdego kartonu włożono o 3 róże mniej (czyli \(y - 3\) róż), to potrzeba by \(x + 8\) kartonów:
$$(x + 8)(y - 3) = 480$$

## Krok 3: Przekształcenie drugiego równania

Rozwijamy iloczyn:
$$xy - 3x + 8y - 24 = 480$$

Ponieważ \(xy = 480\), podstawiamy:
$$480 - 3x + 8y - 24 = 480$$

$$-3x + 8y - 24 = 0$$

$$8y = 3x + 24$$

$$y = \frac{3x + 24}{8}$$

## Krok 4: Podstawienie do pierwszego równania

Z równania \(xy = 480\) mamy:
$$x \cdot \frac{3x + 24}{8} = 480$$

$$x(3x + 24) = 3840$$

$$3x^2 + 24x = 3840$$

$$3x^2 + 24x - 3840 = 0$$

Dzielimy przez 3:
$$x^2 + 8x - 1280 = 0$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego

Używamy wzoru na deltę:
$$\Delta = 64 - 4 \cdot 1 \cdot (-1280) = 64 + 5120 = 5184$$

$$\sqrt{\Delta} = 72$$

$$x = \frac{-8 \pm 72}{2}$$

Ponieważ \(x > 0\):
$$x = \frac{-8 + 72}{2} = \frac{64}{2} = 32$$

## Krok 6: Obliczenie liczby róż w kartonie

$$y = \frac{480}{32} = 15$$

## Krok 7: Sprawdzenie

- Pierwotnie: \(32\) kartony po \(15\) róż = \(480\) róż ✓
- Po zmianie: \(40\) kartonów po \(12\) róż = \(480\) róż ✓

**Odpowiedź:** Pierwotnie zapakowano róże do **32 kartonów**, w każdym było po **15 róż**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019