---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-33
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-33
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-33

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat, a spodek \(F\) wysokości \(EF\) ostrosłupa jest środkiem krawędzi \(AD\) (patrz rysunek). Ponadto wiadomo, że każda z dwóch dłuższych krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\sqrt{5}\) cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(288\sqrt{15}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy bok kwadratu jako \(a\) i ustalmy układ współrzędnych.

## Krok 1: Ustalenie układu współrzędnych

Umieśćmy kwadrat \(ABCD\) w płaszczyźnie \(xy\) tak, że:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(D = (a, 0, 0)\)
- \(B = (0, a, 0)\)
- \(C = (a, a, 0)\)

Punkt \(F\) (środek \(AD\)) ma współrzędne:
$$F = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$$

Wierzchołek \(E\) leży na wysokości nad punktem \(F\):
$$E = \left(\frac{a}{2}, 0, h\right)$$

gdzie \(h\) to wysokość ostrosłupa.

## Krok 2: Identyfikacja dłuższych krawędzi bocznych

Obliczmy długości krawędzi bocznych:

$$|EA| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}$$

$$|ED| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}$$

$$|EB| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}$$

$$|EC| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}$$

Dłuższe krawędzie to \(EB\) i \(EC\), więc:
$$|EB| = |EC| = 12\sqrt{5}$$

## Krok 3: Wyznaczenie kąta nachylenia

Kąt nachylenia krawędzi \(EB\) do płaszczyzny podstawy to kąt \(\angle EBF'\), gdzie \(F'\) jest rzutem \(E\) na podstawę, czyli \(F' = F = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)\).

Rzut krawędzi \(EB\) na podstawę to odcinek \(F'B\):
$$|F'B| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$

Z warunku kąta nachylenia \(60°\):
$$\tan(60°) = \frac{h}{|F'B|} = \frac{h}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}$$

$$\sqrt{3} = \frac{2h}{a\sqrt{5}}$$

$$h = \frac{a\sqrt{15}}{2}$$

## Krok 4: Wyznaczenie boku kwadratu

Z warunku \(|EB| = 12\sqrt{5}\):
$$\sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2} = 12\sqrt{5}$$

Podstawiając \(h = \frac{a\sqrt{15}}{2}\):
$$\sqrt{\frac{5a^2}{4} + \frac{15a^2}{4}} = 12\sqrt{5}$$

$$\sqrt{\frac{20a^2}{4}} = 12\sqrt{5}$$

$$\sqrt{5a^2} = 12\sqrt{5}$$

$$a\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$$

$$a = 12$$

## Krok 5: Obliczenie wysokości

$$h = \frac{a\sqrt{15}}{2} = \frac{12\sqrt{15}}{2} = 6\sqrt{15}$$

## Krok 6: Obliczenie objętości

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podstawy} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6\sqrt{15} = \frac{864\sqrt{15}}{3} = 288\sqrt{15} \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(288\sqrt{15}\) cm³

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019