---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-30
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-30
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-30

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa \(1\). Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci \(a+b\sqrt{c}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(2-\sqrt{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-30.png]

Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(a\), a długość przekątnej przez \(d\).

**Krok 2: Związek między bokiem a przekątną kwadratu**

Z twierdzenia Pitagorasa dla kwadratu o boku \(a\):
$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$
$$d = a\sqrt{2}$$

**Krok 3: Wykorzystanie warunku zadania**

Z treści zadania wiemy, że:
$$a + d = 1$$

Podstawiamy \(d = a\sqrt{2}\):
$$a + a\sqrt{2} = 1$$
$$a(1 + \sqrt{2}) = 1$$
$$a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$$

**Krok 4: Wymiernianie mianownika**

Mnożymy licznik i mianownik przez \(1 - \sqrt{2}\):
$$a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = -1 + \sqrt{2}$$

**Krok 5: Obliczenie długości przekątnej**

$$d = a\sqrt{2} = (-1 + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$$
$$d = -\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$$
$$d = -\sqrt{2} + 2$$
$$d = 2 - \sqrt{2}$$

**Krok 6: Zapisanie w postaci \(a + b\sqrt{c}\)**

$$d = 2 + (-1)\sqrt{2}$$

gdzie \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 2\).

**Odpowiedź:** \(2 - \sqrt{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019