---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-29
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-29
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-29

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że równanie \(x^2+(a-1)x-a=0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Aby uzasadnić, że równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\), należy pokazać, że wyróżnik \(\Delta \geq 0\) dla każdego \(a \in \mathbb{R}\).

## Krok 1: Identyfikacja współczynników

Równanie kwadratowe \(x^2+(a-1)x-a=0\) ma współczynniki:
- \(A = 1\)
- \(B = a-1\)
- \(C = -a\)

## Krok 2: Obliczenie wyróżnika

Wyróżnik równania kwadratowego wyraża się wzorem \(\Delta = B^2 - 4AC\).

$$\Delta = (a-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a)$$

$$\Delta = (a-1)^2 + 4a$$

## Krok 3: Rozwinięcie wyrażenia

$$\Delta = a^2 - 2a + 1 + 4a$$

$$\Delta = a^2 + 2a + 1$$

## Krok 4: Zauważenie kwadratu sumy

$$\Delta = (a+1)^2$$

## Krok 5: Analiza znaku wyróżnika

Ponieważ \(\Delta = (a+1)^2\), to:
- \(\Delta \geq 0\) dla każdego \(a \in \mathbb{R}\)
- Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny

## Wniosek

Wyróżnik \(\Delta = (a+1)^2 \geq 0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\), co oznacza, że równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (dwa rozwiązania gdy \(a \neq -1\) lub jedno podwójne gdy \(a = -1\)).

**Równanie \(x^2+(a-1)x-a=0\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\).**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019