---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-28
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-28
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-28

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Sprawdź, czy punkty \(A=(-2,3)\), \(B=(2,5)\), \(C=(2\sqrt{2},4+\sqrt{2})\) są współliniowe.

**Prawidłowa odpowiedź:** Są współliniowe.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

# Sprawdzanie współliniowości punktów

Punkty są współliniowe, gdy leżą na jednej prostej. Sprawdza się to metodą wektorów.

## Metoda wektorowa

Punkty A, B, C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory \(\vec{AB}\) i \(\vec{AC}\) są równoległe, czyli gdy jeden jest wielokrotnością drugiego.

**Krok 1: Wyznacza się wektor \(\vec{AB}\)**

$$\vec{AB} = [2-(-2), 5-3] = [4, 2]$$

**Krok 2: Wyznacza się wektor \(\vec{AC}\)**

$$\vec{AC} = [2\sqrt{2}-(-2), 4+\sqrt{2}-3] = [2\sqrt{2}+2, 1+\sqrt{2}]$$

**Krok 3: Sprawdza się, czy \(\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}\) dla pewnego \(k \in \mathbb{R}\)**

Jeśli wektory są równoległe, to:
$$[2\sqrt{2}+2, 1+\sqrt{2}] = k \cdot [4, 2]$$

Z pierwszej współrzędnej:
$$2\sqrt{2}+2 = 4k$$
$$k = \frac{2\sqrt{2}+2}{4} = \frac{2(\sqrt{2}+1)}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

**Krok 4: Weryfikuję z drugiej współrzędnej**

Dla \(k = \frac{\sqrt{2}+1}{2}\) druga współrzędna powinna wynosić:
$$2k = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{2} = \sqrt{2}+1$$

Rzeczywiście, druga współrzędna wektora \(\vec{AC}\) wynosi \(1+\sqrt{2}\), co zgadza się.

**Wniosek:**

Ponieważ \(\vec{AC} = \frac{\sqrt{2}+1}{2} \cdot \vec{AB}\), wektory są równoległe, a zatem punkty **A, B, C są współliniowe**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019