---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-27
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-27
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-27

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na trójkącie o bokach długości \(\sqrt{5}, \sqrt{15}, \sqrt{10}\) opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(r=\frac{\sqrt{15}}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-27.png]

Dla trójkąta o bokach długości \(a = \sqrt{5}\), \(b = \sqrt{15}\), \(c = \sqrt{10}\) oblicza się promień okręgu opisanego.

## Krok 2: Sprawdzenie warunku trójkąta

Najpierw upewniam się, że można zbudować taki trójkąt. Porównuje się kwadraty boków:
- \(a^2 = 5\)
- \(b^2 = 15\)
- \(c^2 = 10\)

Sprawdza się: \(a^2 + c^2 = 5 + 10 = 15 = b^2\)

Zatem trójkąt jest **prostokątny** z kątem prostym przy wierzchołku naprzeciw najdłuższego boku \(b = \sqrt{15}\).

## Krok 3: Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego znajduje się w środku przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości przeciwprostokątnej.

Zatem:
$$r = \frac{b}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$$

## Krok 4: Weryfikacja (opcjonalnie)

Można też użyć ogólnego wzoru \(r = \frac{abc}{4P}\), gdzie \(P\) to pole trójkąta.

Pole trójkąta prostokątnego:
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Promień okręgu opisanego:
$$r = \frac{abc}{4P} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{10}}{4 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{750}}{10\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{30}}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$$

**Odpowiedź:** \(r = \frac{\sqrt{15}}{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019