---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-23
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-23
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-23

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt rozwarcia stożka jest równy \(30^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(8\) cm. Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 64\ \text{cm}^2 \)
- **B.** \( 32\ \text{cm}^2 \)
- **C.** \( 16\ \text{cm}^2 \)
- **D.** \( 16\sqrt{3}\ \text{cm}^2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-23.png]

## Analiza danych

- Kąt rozwarcia stożka: \(30°\)
- Długość tworzącej: \(l = 8\) cm

**Uwaga:** Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym.

## Przekrój osiowy stożka

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, w którym:
- ramiona to tworzące stożka (obie długości \(l = 8\) cm)
- podstawa to średnica podstawy stożka (długość \(2r\))
- kąt przy wierzchołku stożka to kąt rozwarcia = \(30°\)

## Obliczenie wysokości trójkąta (wysokości stożka)

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli kąt przy wierzchołku na pół.

Rozpatrzmy połowę przekroju osiowego - trójkąt prostokątny:
- przeciwprostokątna: \(l = 8\) cm (tworząca)
- kąt przy wierzchołku: \(\frac{30°}{2} = 15°\)
- wysokość stożka \(h\) leży naprzeciw kąta \(15°\)

$$h = l \cdot \sin(15°)$$

## Obliczenie podstawy trójkąta (średnicy podstawy)

Promień podstawy:
$$r = l \cdot \sin\left(\frac{30°}{2}\right) = 8 \cdot \sin(15°)$$

Podstawa trójkąta (średnica):
$$d = 2r = 16 \cdot \sin(15°)$$

## Pole przekroju osiowego

Pole trójkąta równoramiennego:

$$P = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16\sin(15°) \cdot 8\sin(15°)$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot 128 \cdot \sin^2(15°) = 64\sin^2(15°)$$

Alternatywnie, używając wzoru na pole trójkąta z boków i kąta między nimi:

$$P = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(30°)$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = \frac{64}{4} = 16 \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019