---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-22
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-22
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-22

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Przekątna sześcianu ma długość \(6\) cm. Objętość tego sześcianu jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 24\sqrt{3}\ \text{cm}^3 \)
- **B.** \( 24\ \text{cm}^3 \)
- **C.** \( 72\sqrt{3}\ \text{cm}^3 \)
- **D.** \( 72\ \text{cm}^3 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-22.png]

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez \(a\).

**Krok 2: Znajdźmy zależność między przekątną sześcianu a długością krawędzi**

Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki (np. od dolnego rogu do górnego rogu po przeciwnej stronie).

Aby ją obliczyć, najpierw znajdujemy przekątną podstawy (kwadratu) korzystając z tw. Pitagorasa:
$$d_{\text{podstawy}} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

Następnie przekątna sześcianu tworzy trójkąt prostokątny z:
- przekątną podstawy \(a\sqrt{2}\) (przyprostokątna)
- wysokością sześcianu \(a\) (przyprostokątna)
- przekątną sześcianu \(d\) (przeciwprostokątna)

**Krok 3: Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa**

$$d^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2$$

$$d^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$

$$d = a\sqrt{3}$$

**Krok 4: Obliczmy długość krawędzi**

Wiemy, że \(d = 6\) cm, więc:
$$6 = a\sqrt{3}$$

$$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$$

**Krok 5: Obliczmy objętość sześcianu**

$$V = a^3 = (2\sqrt{3})^3$$

$$V = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 8 \cdot \sqrt{3^3} = 8 \cdot \sqrt{27}$$

$$V = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019