---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-20
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-20
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-20

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Bok trójkąta równobocznego ma długość \(8\) cm. Odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boków jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 2\frac{2}{3} \) cm
- **B.** \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \) cm
- **C.** \( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) cm
- **D.** \( 4\sqrt{3} \) cm

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-20.png]

Oznaczmy bok trójkąta równobocznego jako \(a = 8\) cm.

**Krok 2: Wzór na wysokość trójkąta równobocznego**

Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi:
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Dla \(a = 8\):
$$h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

**Krok 3: Własność środka ciężkości**

Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą środkową (która w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością) w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka.

Odległość środka ciężkości od podstawy wynosi:
$$d = \frac{1}{3}h$$

**Krok 4: Obliczenie odległości od boku**

$$d = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

**Krok 5: Sprawdzenie dla wszystkich boków**

Ze względu na symetrię trójkąta równobocznego, środek ciężkości jest równoodległy od wszystkich trzech boków. Każda z tych odległości wynosi \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm.

**Dodatkowa weryfikacja:**

Możemy to sprawdzić inaczej: promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi:
$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

Środek ciężkości trójkąta równobocznego pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego, więc odległość środka ciężkości od boków równa jest promieniowi okręgu wpisanego.

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019