---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-15
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-15
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-15

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W ciągu geometrycznym, który ma sześć wyrazów, dane są \(a_3=\frac{1}{2}\) i \(a_6=\frac{1}{16}\). Zatem:

## Odpowiedzi

- **A.** \( a_2=\frac{1}{4} \)
- **B.** \( a_2=\frac{1}{8} \)
- **C.** \( a_2=1 \)
- **D.** \( a_2=2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Musimy znaleźć wartość \(a_2\) w ciągu geometrycznym, znając \(a_3\) i \(a_6\).

**Krok 1: Przypomnijmy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego**

W ciągu geometrycznym o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\):
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

**Krok 2: Zapiszmy dane wyrazy**

$$a_3 = a_1 \cdot q^2 = \frac{1}{2}$$
$$a_6 = a_1 \cdot q^5 = \frac{1}{16}$$

**Krok 3: Znajdźmy iloraz \(q\)**

Podzielmy drugie równanie przez pierwsze:
$$\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^2} = q^3$$

$$q^3 = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$

$$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$

**Krok 4: Znajdźmy pierwszy wyraz \(a_1\)**

Podstawmy \(q = \frac{1}{2}\) do równania \(a_3 = a_1 \cdot q^2\):
$$\frac{1}{2} = a_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$$

$$\frac{1}{2} = a_1 \cdot \frac{1}{4}$$

$$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$

**Krok 5: Obliczmy \(a_2\)**

$$a_2 = a_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

**Sprawdzenie:**
- \(a_1 = 2\)
- \(a_2 = 1\)
- \(a_3 = \frac{1}{2}\) ✓
- \(a_4 = \frac{1}{4}\)
- \(a_5 = \frac{1}{8}\)
- \(a_6 = \frac{1}{16}\) ✓

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019