---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-14
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-14
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-14

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 0 \)
- **B.** \( 5 \)
- **C.** \( 11 \)
- **D.** \( -11 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Ciąg arytmetyczny ma wzór ogólny:
$$a_n = a_1 + (n-1)r$$
gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) to różnica ciągu.

## Krok 1: Wykorzystanie informacji o szóstym wyrazie

Wiemy, że \(a_6 = 0\), więc:
$$a_6 = a_1 + 5r = 0$$

Stąd:
$$a_1 = -5r$$

## Krok 2: Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

lub w alternatywnej postaci:
$$S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)r]}{2}$$

## Krok 3: Obliczenie sumy jedenastu wyrazów

Dla \(n = 11\):
$$S_{11} = \frac{11(a_1 + a_{11})}{2}$$

Obliczmy \(a_{11}\):
$$a_{11} = a_1 + 10r = -5r + 10r = 5r$$

Więc:
$$S_{11} = \frac{11(a_1 + a_{11})}{2} = \frac{11(-5r + 5r)}{2} = \frac{11 \cdot 0}{2} = 0$$

## Alternatywne uzasadnienie

Można też zauważyć, że w ciągu arytmetycznym suma wyrazów równoodległych od końców jest stała:
- \(a_1 + a_{11} = 2a_6\) (wyraz środkowy dla 11 wyrazów)

Ponieważ \(a_6 = 0\), to:
$$S_{11} = 11 \cdot a_6 = 11 \cdot 0 = 0$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019