---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-09
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-09
source: Matura próbna Operon listopad 2019
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2019-09

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2019
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trójkącie równoramiennym \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\) poprowadzono dwusieczne kątów \(ABC\) i \(ACB\). Dwusieczne te przecięły się w punkcie \(O\) (patrz rysunek). Jeśli \(|\sphericalangle BAC|=70^\circ \), to miara kąta \(\alpha \) jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 140^\circ \)
- **B.** \( 110^\circ \)
- **C.** \( 55^\circ \)
- **D.** \( 125^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Wyznaczenie kątów przy podstawie trójkąta

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) mamy \(|AC|=|BC|\), więc kąty przy podstawie \(AB\) są równe:
$$|\angle CAB| = |\angle CBA| = 70°$$

## Krok 2: Wyznaczenie kąta przy wierzchołku

Suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), zatem:
$$|\angle ACB| = 180° - 70° - 70° = 40°$$

## Krok 3: Wyznaczenie kątów utworzonych przez dwusieczne

Dwusieczna kąta \(ABC\) dzieli go na dwa równe kąty:
$$|\angle ABO| = |\angle OBC| = \frac{70°}{2} = 35°$$

Dwusieczna kąta \(ACB\) dzieli go na dwa równe kąty:
$$|\angle ACO| = |\angle OCB| = \frac{40°}{2} = 20°$$

## Krok 4: Wyznaczenie kąta \(\alpha\) w trójkącie \(OBC\)

Kąt \(\alpha\) to kąt \(BOC\). Rozpatrujemy trójkąt \(OBC\), w którym:
- \(|\angle OBC| = 35°\)
- \(|\angle OCB| = 20°\)

Z sumy kątów w trójkącie \(OBC\):
$$\alpha = |\angle BOC| = 180° - 35° - 20° = 125°$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019