---
route: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-34
title: Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-34
source: Matura próbna Operon listopad 2018
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-operon-listopad-2018-34

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2018
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Krawędź podstawy ma długość \(12\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=36\sqrt{2}\)\(P_b=54\sqrt{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-34.png]

Oznaczmy:
- \(a = 12\) – długość krawędzi podstawy
- \(h\) – wysokość ostrosłupa
- \(l\) – długość krawędzi bocznej

## Dane z treści zadania

Z treści wiemy, że krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości:
$$l = 3h$$

## Krok 2: Związek między wysokością a krawędzią boczną

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość pada do środka podstawy (środka okręgu opisanego na trójkącie równobocznym).

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku \(a\):
$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (wysokość, promień \(R\), krawędź boczna \(l\)):
$$l^2 = h^2 + R^2$$

Podstawiając \(l = 3h\) i \(R = 4\sqrt{3}\):
$$(3h)^2 = h^2 + (4\sqrt{3})^2$$
$$9h^2 = h^2 + 48$$
$$8h^2 = 48$$
$$h^2 = 6$$
$$h = \sqrt{6}$$

Zatem:
$$l = 3h = 3\sqrt{6}$$

## Krok 3: Objętość ostrosłupa

Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \(a = 12\)):
$$P_{podst} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$$

Objętość:
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podst} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}$$
$$V = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = 12\sqrt{18} = 12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$$

## Krok 4: Pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni bocznej to suma pól trzech ścian bocznych (trójkątów równoramiennych).

Wysokość ściany bocznej \(h_b\) liczymy z twierdzenia Pitagorasa (w trójkącie: wysokość ściany, połowa krawędzi podstawy, krawędź boczna):
$$h_b^2 = l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = (3\sqrt{6})^2 - 6^2 = 54 - 36 = 18$$
$$h_b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Pole jednej ściany bocznej:
$$P_{sciany} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$

Pole powierzchni bocznej (trzy ściany):
$$P_b = 3 \cdot 18\sqrt{2} = 54\sqrt{2}$$

## Odpowiedź

$$V = 36\sqrt{2}$$
$$P_b = 54\sqrt{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018